Un poco más de derivadas

En la unidad dos se estableció a la derivada como una razón de cambio. Específicamente, se definió a la derivada como la razón del cambio de una función con respecto al cambio en su variable; de ahí la notación dy/dx para indicar el proceso de derivación de una función y de x.

Por otra parte, el planteamiento inicial para el cálculo del área bajo una curva fue construir rectángulos por encima o por debajo de dicha curva y reducir la longitud de sus bases lo más posible. Estas longitudes en las bases no son otra cosa que diferencias entre dos diferentes valores de x. Es decir, pueden visualizarse como pequeños incrementos de un valor inicial x. De ahí que en su momento las simbolizáramos también como dx.

Dado que dx representa la base de los rectángulos cuyas áreas se van a sumar para aproximar el total del área bajo la curva, se vio también que las áreas de los rectángulos serían f(x)dx bajo la idea general de que el área de un rectángulo es base por altura. Es claro que dx es nuestra base, y que la altura será f(x) como el valor de la función en un determinado punto x de la base del rectángulo. Una explicación más amplia está en cómo establecimos la Suma de Riemman en el tema uno de esta unidad. Si quieres puedes regresar para repasar el tema.

También se vio, en sumas de Riemman, que las sumas de estas áreas del tipo f(x)dx  nos definen a la integral. Por lo tanto, la expresión  debe incluir precisamente al elemento dx para ser correcta.

Este elemento se conoce como diferencial de x, y corresponde al cambio en el argumento de la función f(x). De este modo, la diferencial de x estará en función de la f(x) que se pretenda integrar.