Integración por partes

 

 

 

No siempre tenemos las integrales de modo directo o no siempre es posible hacer algún cambio de variable que nos permita resolver una integral. Por ejemplo, en la integral  no nos es posible aplicar alguna de las vías de solución que hemos aprendido hasta aquí; es claro que ninguno de los dos factores en la función es la diferencial del otro y que además la diferencial no está completa por cuestiones de variable y no de constantes. 

 

 

 

Para este tipo de problemas existen algunos otros métodos de integración, aunque aquí solo nos ocuparemos de uno de ellos, que es el que se conoce como integración por partes. Este método parte también de una regla de derivación, que es la del producto de dos funciones. Recordemos que .

   
 

Si en la regla anterior integramos en ambas partes de la igualdad tenemos .

 

 

 

Y si de ahí despejamos  tendremos la expresión

 

 

 

 

 

 

Si en esta última expresión llamamos a las diferenciales f’(x)dx como du y a g’(x)dx, entonces podemos rescribirla como , que será nuestra base en el proceso de integración por partes.

 

 

 

Esta última igualdad se utilizará cuando una integral no pueda ser resuelta de manera directa ni por cambio de variable. Debemos identificar en nuestro problema dos partes: una función a la que asignaremos el papel de u, y otra que funcionará como una expresión ya diferenciada y a la que asignaremos el papel de dv y que al integrarse produzca en la integral de vdu un problema más simple que el original.

 

 

 

Finalmente debes considerar que la integral que obtengas al lado derecho al aplicar el proceso deberá ser más simple que la integral original, pues de otro modo corres el riesgo de aplicar el método indefinidamente sin llegar a una solución.

 

 

 
           
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7/10