Un teorema fundamental

With me everything turns into mathematics.
                              Rene Descartes

Tal vez el planteamiento más importante en todo el Cálculo Diferencial e Integral sea aquel conocido como el Teorema Fundamental del Cálculo. Como su nombre lo indica, podemos esperar de él que nos dé las bases de toda esta materia.  Pero para poder abordarlo con más claridad veremos antes otro teorema. También es recomendable dar un rápido repaso al tema de derivadas, si sientes que tus conocimientos en lo que a ellas se refiere no son aún muy sólidos regresa y revisa el tema.

Para comenzar, diremos como definición que una función F es una antiderivada de una función f si se tiene que F’(x) = f(x) en algún intervalo. Como ejemplo podemos decir que F(x) = x² es la antiderivada de f(x) = 2x, ya que F’(x) = 2x. Pero F(x) = x² no es la única antiderivada de f(x) = 2x, ya que expresiones como x²+3, x²-11 u otras de la misma forma también cumplen con F’ (x) = 2x.  Es decir, la forma más general en la que la antiderivada de f(x) puede expresarse es F(x) + c, donde c es cualquier constante.

De acuerdo a lo anterior, podemos establecer que dos antiderivadas de una misma función pueden diferir cuando más en una constante. Dicho esto en términos más formales, tenemos el siguiente teorema:

Si G’(x) = F’(x) para toda x en algún intervalo [a, b], entonces G(x) = F(x).

La demostración de este teorema se omite por no ser necesaria para este curso, pero te damos la opción de poder consultarla aquí.

Como ejemplos de antiderivadas expresadas de forma general tenemos que:

• La antiderivada de f(x) = 3x² es F(x) = x³+c.
• La antiderivada de f(x) = 2x + 5 es F(x) = x²+5x+c.

En ambos casos puedes comprobarlo derivando F(x).