Una suma muy especial

Hemos visto que para hacer un cálculo aproximado del área bajo alguna curva, podemos trazar rectángulos encima o debajo de la curva, calcular sus áreas y sumarlas. Es decir Σdx x f(x) nos puede dar una idea aproximada del área total bajo la curva.

Vimos también que, dependiendo si los rectángulos se trazan bajo la curva o sobre ella, tendremos faltantes o excedentes de área. Ahora, ya que la base de cada rectángulo es un intervalo de valores de x, podemos seleccionar algún valor en especial dentro de cada uno de estos pequeños intervalos y utilizarlo como valor de x para evaluar f(x) y obtener así la altura de cada rectángulo. Denotaremos este valor de x, dentro de cada intervalo,  como x*.

De este modo, la suma de las áreas de los rectángulos será Σdx x f(x*).

A esta suma se le conoce como Suma de Riemman, en honor a Georg Friedrich Bernhard Riemman. ¿Cómo usar la Suma de Riemman para aproximar áreas? Veamos un ejemplo.

Algunos fenómenos, como la demanda de agua a una presa, pueden modelarse por medio de funciones matemáticas. Por ejemplo, la función f(x) = 3x + 2   puede representar la exigencia de agua potable para una presa dentro de un cierto periodo de tiempo. Aproximar el área bajo la gráfica de f(x) = 3x + 2  por medio de sumas de Riemman, utilizando rectángulos de base uno y dentro del intervalo [2, 7]. ¿Qué consideras que debe de hacerse? Piensa un momento y cuando estés listo, revisa tus ideas: