Definición de derivada

Ahora que ya tenemos una idea de lo que representa la derivada, podemos plantear su definición matemática. Partamos de una gráfica para entender mejor:

Al igual que en los ejercicios previos, he?mos trazado una secante que pasa por el punto  y por un punto separado una distancia horizontal  (se lee “delta x” o “incremento de x”) del punto anterior, por lo que sus coordenadas son . Dijimos que la derivada es la pendiente de la recta, y como ya recordamos, la pendiente de la recta se calcula dividiendo la diferencia de ordenadas entre la diferencia de abscisas, así que para los puntos que hemos propuesto tenemos:

También especificamos que la derivada es la pendiente de una recta tangente, y que eso significa que los dos puntos deben estar infinitamente cercanos, es decir, que el incremento Δx que los separe debe ser tan pequeñito que sea casi cero, o matemáticamente dicho, que “Δx tienda a cero”, lo cual convierte este problema en un límite:

La expresión que acabamos de escribir es la expresión matemática que representa a la derivada. Vamos a formalizarla en la siguiente definición:

Ahora bien, para que una función sea derivable, debe cumplirse que existan los límites.

Por la izquierda: ,

y por la derecha:

Por otra parte, en la definición anterior hemos utilizado el símbolo f'(x) para representar la derivada. Existen varias notaciones que se usan indistintamente para simbolizarla. A continuación te presentamos las más frecuentes para que te familiarices: