Interpretación geométrica

En la siguiente gráfica se ilustra la variación del volumen de agua desde que la presa fue construida y el embalse inició su llenado en 1964, hasta el año 2007.

La gráfica te permitirá observar que el volumen no ha variado de la misma manera a lo largo del tiempo, es decir, su variación no ha sido constante. Fíjate que a partir durante el primer año varió con menor rapidez que en el segundo: ¿Cómo comprobarlo?

Hagamos lo mismo que en el ejemplo de los casos de gripe aviar: obtengamos diferencias: Al iniciarse el llenado de la presa en 1964, el volumen era cero; para 1965, el embalse contenía ya alrededor de 2 mil millones de metros cúbicos de agua. Por tanto, mediante operaciones de resta podemos determinar el cambio ocurrido de un año a otro: restamos 2000 millones menos 0 y nuestro resultado es 2 000 millones. De la misma manera podemos obtener calcular el periodo de tiempo en que transcurrió este cambio, restando 1965-1964= 1 año. Si relacionamos ambas cantidades mediante un cociente obtendremos la rapidez con la que ocurrió el fenómeno, ¿verdad? Entonces podemos decir que en el primer año el volumen de agua varió según una razón de 2000 millones de metros cúbicos de agua por año. Matemáticamente podemos expresar lo anterior así:

Calculemos ahora la rapidez con que varió el volumen entre 1965 y 1966, para compararla con la anterior. Para 1966 en el embalse habían acumulado ya 8 millones de m3 de agua; con estos datos podemos obtener entonces la rapidez en este segundo periodo:

¿Hemos comprobado lo que dijimos? ¿Efectivamente hubo mayor durante el segundo año que durante el primero? ¡Claro que sí! En el segundo año la tasa de variación fue de 6000 millones de m3, contra los 2000 millones de m3 del primer año.

Como el procedimiento que seguimos para obtener la rapidez es el mismo para todos los casos que queramos determinar, nos conviene plantear una fórmula. Para empezar recordemos que nuestros datos son dos parejas ordenadas formadas por el año y el volumen acumulado:(año, volumen).

A continuación recordemos que estamos trabajando con una tasa de variación, y que ello implica un cociente o división. Si revisas los ejemplos anteriores verás que en el numerador hemos restado el volumen del embalse al final del periodo de cálculo (llamémosle v₂) menos el volumen al inicio de dicho periodo (lo llamaremos v₁). En el denominador hemos restado el año en que termina nuestro periodo de cálculo (al que nombraremos t₂) menos el año en el que inicia (y que identificaremos como lo llamaremos t₁). Si traducimos lo anterior a una fórmula tendremos algo así:

Lo que estamos haciendo es relacionar el cambio que ocurre en la variable dependiente (en este caso el volumen v) con el cambio que ocurre en la variable independiente (es decir, el tiempo t). En Matemáticas el cambio o variación se representa usando la letra delta del alfabeto griego seguida del nombre de la variable. Así, el cambio en volumen lo podemos representar así:

En tanto que el cambio en el tiempo debe quedar así:

Por tanto, podemos nuestra fórmula para determinar la tasa de rapidez de variación del volumen con respecto al tiempo es:

Si lo piensas desde el punto de vista gráfico, te darás cuenta que estamos obteniendo el cambio en las ordenadas entre el cambio en las abscisas… ¿dónde has usado esa fórmula?