Definición I Concepto y notación: Valor de una función a partir de una gráfica

¿Te has puesto a pensar cuántos productos líquidos consumes? Todos ellos llegan a los centros de venta (tiendas, supermercados, farmacias, ferreterías y demás) envasados en botellas o recipientes, generalmente cilíndricos. Las industrias que los producen han invertido grandes cantidades de dinero en las máquinas de llenado y por tanto les preocupa optimizar este proceso, de modo que puedan llenar el mayor número de botellas en el menor tiempo posible. Para ello, en una primera etapa se trabaja con simuladores, que generalmente consisten en programas de cómputo que permiten visualizar el proceso y analizar la influencia de los diferentes factores que intervienen o que pueden alterar el llenado.

Nosotros trabajaremos aquí con un modelo básico que necesitamos que analices. Aquí lo tienes:

Observa que en este modelo puedes modificar la longitud de la base del recipiente moviendo el punto rojo que constituye un vértice inferior de la figura. Por otra parte, puedes oprimir el botón Base=1 si deseas que la base tenga esa longitud. También tienes 7 botones que te permiten modificar el ángulo de inclinación de las paredes del recipiente. Pruébalos para que veas qué hacen.

Ahora fíjate en la gráfica. Te darás cuenta se genera una diferente para cada valor de la base y para cada inclinación de las paredes. Esta gráfica permite visualizar la función h(t) .

1. ¿Puedes explicar qué representan h y t?

2. ¿Hay algún caso o casos en que la función sea lineal? ¿Qué condición debe cumplirse para ello? Explica.

3. Completa lo siguiente, considerando que identificaremos como B a la base del recipiente y como α(alfa) al ángulo de inclinación de las paredes del recipiente con respecto a la horizontal.

   • Cuando B=2, α=15º, t=3.62 s, h(t)= ______. Eso significa que cuando la base del recipiente vale ____ unidades y el ángulo de inclinación de las paredes es de ____° con respecto a la horizontal, se necesitan ____ segundos para que la altura del recipiente llegue a _____ unidades.

   • Cuando el ancho de la base es de 2.6 unidades y las paredes se encuentran inclinadas 30° con respecto a la horizontal, el llenado total del recipiente tarda ____ segundos, llegando a una altura de ___ unidades. Lo anterior, representado simbólicamente, se escribe así: Cuando ______y _________, el llenado total ocurre en t=_____, llegando a ____________, que es la altura máxima posible.

4. Escribe un texto que describa cada una de las siguientes condiciones, completando lo que falte:

   • B=1, α=45º, t=5 s, h(t)=____

   • B=0.6, α=60º, t=0.27 s, h(t)=____

   • B=2, α=75º, t=10 s, h(t)=____

5. Ahora imagina que estás diseñando un envase cuya base debe ser de 1 unidad de longitud y deseas determinar el ángulo de inclinación que más convenga para optimizar el tiempo de llenado. Tu empresa ha decidido que no usará un envase de paredes verticales pues desea que el envase sea diferente de lo común. ¿Qué ángulo recomendarías: 45°, 60° ó 75°? ¿Por qué? (Escribe tus argumentos, tratando de usar los símbolos B,α, t, h(t).

6. Si para la pregunta anterior tuvieras como opción adicional un ángulo mayor de 90°, ¿lo recomendarías?

7. Analizando tus resultados, ¿puedes proponer alguna explicación de la razón por la que se usan generalmente envases con paredes verticales?

¿Terminaste? Entonces aprendamos ahora cómo obtener el valor de una función definida por una regla de correspondencia.