El análisis de ecuaciones

En Matemáticas, cuando hablamos de analizar una ecuación nos referimos a estudiarla usando herramientas algebraicas que nos permitan determinar fundamentalmente cuatro aspectos:

1. Sus intersecciones con los ejes coordenados
2. Sus simetrías con respecto a los ejes coordenados
3. Su extensión (dominio y rango)
4. La posibilidad de que presente un comportamiento asintótico

Estos cuatro aspectos nos permitirán describir cómo se ve la gráfica de una ecuación incluso antes de verla, porque para ello usaremos procedimientos algebraicos. Es parecido a lo que ocurre en los retratos hablados que hace la policía: a partir de los rasgos generales de una persona que se le dan al dibujante, él logra bosquejar lo que se conoce como un “retrato hablado”. En la medida que se le dan características más específicas, el retratista puede hacer un mejor trabajo.

De manera análoga, al ir analizando los cuatro aspectos, iremos precisando características de la gráfica de la ecuación, para poder construirla posteriormente. En la sección anterior aprendimos a determinar gráficamente las intersecciones y la extensión, así que es probable que te preguntes por qué ahora trabajaremos con un método analítico para llegar a lo mismo por la vía algebraica. Esto se debe por una parte a que la concepción de la Geometría analítica consiste precisamente en que todo resultado que se puede visualizar geométricamente (en una gráfica), debe comprobarse analíticamente y viceversa: Todo procedimiento analítico debe tener una comprobación gráfica.

Lo gráfico se comprueba analíticamente:

Lo analítico se comprueba gráficamente:

Por otra parte, los desarrollos analíticos son muy importantes porque constituyen la traducción de lo gráfico hacia lo simbólico (o sea, relacionar las imágenes con expresiones algebraicas y/o trascendentes), y el lenguaje simbólico permite análisis mucho más complejos y profundos. Consideramos que estás listo para acercarte a estos análisis.