Ejemplos de algunos cálculos de áreas bajo la curva

Vimos antes algunos ejemplos de antiderivadas. En ellos encontramos que la antiderivada de 2x es x²+c, la de 3x² es x³+c, y la de 2x + 5 es x²+5x+c. Aplicaremos ahora a estos resultados lo que sabemos ya del Teorema Fundamental del Cálculo, en términos de calcular áreas bajo las gráficas de las funciones 2x,  3x² y 2x + 5 dentro de determinados intervalos. También calcularemos una más, que es cos(x). Recuerda que las áreas se miden en unidades cuadradas (u²), por lo que es necesario indicar así el resultado.

Ten presente que las funciones en sí son modelos de diversas situaciones, y estas no son la excepción. Más adelante veremos funciones que modelan ciertas situaciones muy particulares, pero por el momento el interés está en que ejercites los procesos algorítmicos y de mecanización.

1. Para 2x, hallar el área bajo la curva de 4 a 10:
    
2. Para 3x², hallar el área bajo la curva desde cero hasta cinco:
   
3. Para 2x + 5, hallar el área bajo la curva entre 10 y 20:
   
4. Para cos(x), hallar el área bajo la curva de cero a :

Sabemos que la derivada de sen(x) es cos(x), por lo que la integral de cos(x) será sen(x). Así,

Ya anteriormente hallaste las antiderivadas de algunas funciones. Ahora te toca calcular las áreas bajo la gráfica de algunas funciones. Para ello deberás calcular de nuevo las antiderivadas, evaluarlas en los dos límites de integración y calcular la diferencia entre la evaluación con el límite superior menos la evaluación en el límite inferior, tal y como lo hicimos en estos tres ejemplos.