Otros elementos de las funciones

Hasta aquí hemos trabajado con los máximos y los mínimos de una función. Como ya vimos, se trata de puntos importantes de la misma. Además, estudiamos también que al trabajar con la derivada de una función es posible trazar su gráfica casi con exactitud.

Pero aún hay más elementos a analizar en las funciones, mismos que podemos conocer por medio no únicamente de la primera derivada, sino también de la segunda. Veamos primero qué más podemos saber acerca de las funciones. Observa las siguientes gráficas:

En la primera imagen vemos que la función, al menos en el intervalo que se muestra, tiene la forma de un tazón; en estos casos, se dice que la función es cóncava en ese intervalo. En la segunda imagen la función, en el intervalo que se muestra, tiene la forma de un montículo; en estos casos, se dice que la función es convexa en ese intervalo. Ahora observa la siguiente gráfica:

Como puedes ver, esta gráfica es convexa en un intervalo, aparentemente para valores de x < 0, y luego es cóncava para valores de x > 0, aproximadamente. Ello nos lleva inmediatamente a concluir que debe de existir algún punto en la función en donde deja de ser convexa para pasar a ser cóncava, o viceversa. A este punto se le conoce como punto de inflexión, y el conocerlo nos dará información más precisa al momento de trazar la gráfica de alguna función.

¿Cómo podemos hallar los puntos de inflexión, la concavidad y la convexidad con las derivadas de una función? Haz un repaso mental de lo que has aprendido hasta aquí respecto a funciones crecientes y decrecientes y máximos y mínimos antes de continuar. Específicamente estos tres elementos (máximos, mínimos y características de una función creciente o decreciente), te pueden servir para avanzar.