Parábola: La ecuación de la parábola

Para obtener la ecuación de la parábola, debemos traducir en primer lugar la definición geométrica (lugar geométrico de los puntos que equidistan del foco y de la directriz) al lenguaje simbólico:

Donde P representa a todos los puntos que cumplen la condición y por tanto, están sobre la parábola; F es el foco y  es la directriz. Observa que en el lado izquierdo de esta igualdad debemos obtener la distancia entre dos puntos; en cambio, en el lado derecho tenemos la distancia de un punto (P) a una recta (la directriz).

El siguiente paso es trabajar esta expresión desde el punto de vista algebraico para llegar a una expresión que nos permita obtener la ecuación de cualquier parábola. Al igual que en los casos anteriores, en este también tendremos una expresión para las parábolas horizontales y otra para las parábolas verticales.

Revisa aquí el desarrollo algebraico para obtener la ecuación de la parábola horizontal. Como revisaste, el procedimiento algebraico nos lleva finalmente a la ecuación de forma ordinaria para una parábola horizontal:

(y -k)² = 4a (x - h)

Para obtener la ecuación de la parábola vertical podemos seguir un procedimiento análogo al que usamos para la horizontal. Sin embargo, también puedes intentar observar la ecuación de la parábola horizontal para que te sirva de guía, recordando además los casos de las ecuaciones de la elipse y la hipérbola. ¿Ya? Entonces escríbela a continuación:

Antes de trabajar con algunos ejemplos nos debemos detener en algo más: ¿qué haremos para indicar en estas ecuaciones que una parábola abre hacia la izquierda o hacia abajo? ¿Qué se te ocurre? Cuando tengas una respuesta, continúa.

¡Claro! Un signo negativo es la respuesta… pero ¿dónde lo ponemos? Efectivamente, el signo lo llevará el factor 4p. Probemos con la primera parábola que usamos para obtener los elementos:

Se trata de una parábola horizontal que abre hacia la izquierda. Encuentra su ecuación ordinaria y su ecuación general (ordenada e igualada a cero).
Cuando las tengas, anota en los cuadros las literales o coeficientes que faltan; cuando se trate de coeficientes, incluye su signo:

¿Cómo obtuvimos estas ecuaciones?