Asíntotas. Determinación analítica de las asíntotas

En muchos libros encontrarás que  las asíntotas se dibujan usando líneas punteadas.

Encontrar analíticamente las asíntotas horizontales y verticales es un trabajo rápido que de hecho realizas cuando determinas el dominio y el rango. Sólo tienen asíntotas las ecuaciones que pertenecen a nuestro caso 1, es decir, aquellas ecuaciones que al ser despejadas tienen una variable en el denominador ¿te acuerdas?

Si repasas el procedimiento para esas ecuaciones, lo que debemos hacer es dejar fuera del dominio o el rango los valores que puedan producir una división entre cero, y ¿qué crees? pues justamente esos valores son las asíntotas.

Vamos a hacer el trabajo analítico de la ecuación con la que hemos venido trabajando () para que compruebes lo que acabamos de decir.

Para obtener el dominio, debemos tener despejada la variable dependiente y, y en este caso, ese trabajo ya está hecho:

Al analizar esta expresión podemos ver que hay una división “peligrosa”: . Para que no tengamos una división entre cero, podríamos sustituir la x por cualquier número real excepto x=0. ¿Estás de acuerdo? Pues bien, acabamos de determinar tanto el dominio como las asíntotas verticales:

Dominio: x є □, x ≠ 0
Asíntota: x = 0

Hagamos lo propio para el rango, empezando por despejar x:

Así que una vez despejada x, tenemos que:

Para evitar que el denominador en esta expresión sea cero, la y nunca debe valer 1, ¿verdad? Así que el rango está formado por todos los números reales excepto 1 y entonces hay una asíntota horizontal en y = 1.

Rango:
Asíntota: y = 1